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Alejandro Gil Asensi ha obtenido el grado de doctor por la Universidad de La Rioja con su tesis doctoral ‘Polinomios de Appell y funciones especiales en la Teoría de Dunkl’, por la que ha logrado la calificación de sobresaliente ‘cum laude’.

Desarrollada en el Departamento de Matemáticas y Computación -en el marco del programa de Doctorado 782D Doctorado en Matemáticas y Computación (Real Decreto 99/2011)- esta tesis ha sido dirigida por el profesor Juan Luis Varona Malumbres de la Universidad de La Rioja.

La tesis de Alejandro Gil está dedicada a profundizar en el conocimiento de las sucesiones de Appell-Dunkl como extensión al contexto de Dunkl de lo que ocurre en el caso clásico. Si tenemos una familia de polinomios de Appell, es un tema clásico encontrar una función especial de variable compleja que los interpole. El caso más conocido es el de los polinomios de Bernoulli y la función zeta de Hurwitz.

En la literatura científica existen diferentes métodos y estrategias para conseguir este tipo de funciones especiales; entre ellos, hay uno donde se aplica una ligera variación de la transformada de Mellin a la función generatriz de los polinomios de Appell.

En primer lugar, se ha extendido el método para encontrar funciones especiales que interpolen polinomios de Appell al contexto de Dunkl, lo cual presenta diversas dificultades; no sólo el operador de Dunkl es más complicado que la derivada ordinaria, sino que la exponencial de Dunkl tiene un comportamiento asintótico mucho peor que la exponencial ordinaria. En el primer artículo, se han obtenido generalizaciones de algunas funciones importantes, como son la función zeta de Riemann y las funciones de Hurwitz.

En particular, la tesis analiza la aplicación de estas técnicas a los polinomios de Bernoulli-Dunkl y a los de Euler-Dunkl, para encontrar las correspondientes funciones zeta-Dunkl y demostrar muchas de sus propiedades.

El trabajo pretendía conseguir resultados para familias de polinomios de Appell-Dunkl adicionales en las que no sólo no se podía aplicar lo desarrollado en trabajos anteriores, sino que tampoco se podía aplicar en algunos casos clásicos, debido sobre todo a dificultades añadida.

Como resultado, en el segundo artículo se demuestra un teorema con singularidades en la recta real, un hecho no contemplado con anterioridad, mostrando cómo se aplica a diversos ejemplos.

De momento, no se ha conseguido encontrar cómo extender ese resultado a las correspondientes familias de polinomios de Appell-Dunkl, por lo que finalmente se propone como problema abierto, explicando dónde están las dificultades técnicas para lograrlo.

La tesis también analiza propiedades de algunos polinomios de Appell-Dunkl concretos, definiendo en el tercer artículo una nueva familia de polinomios Appell-Dunkl, como son los polinomios de Boole-Dunkl. En concreto, son una familia de polinomios de Appell-Dunkl discretos que generalizan los polinomios de Boole clásicos.

Las dificultades encontradas aquí también son numerosas, y se basan, sobre todo, en que la traslación de Dunkl es un operador mucho más sofisticado que la traslación clásica, y eso hace que las familias de Appell-Dunkl discretas tengan una definición que no es sencilla porque involucra las traslaciones de Dunkl.